Lab 69 — ดาวเทียมโคจร: ความเร็ววงโคจรและกฎของเคปเลอร์ (3D)

⚠️ โหลดไลบรารี 3D (three.js) ไม่สำเร็จ — ต้องเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ต
ยังทดลองได้จากภาพ 2 มิติด้านล่าง

📡 ระนาบวงโคจร (มองจากขั้วเหนือ) · เรดาร์ภาคพื้น · นาฬิกาภารกิจ

โหมดการทดลอง

ตารางบันทึกผลและดาวเคราะห์ปริศนาไม่เปลี่ยน

🧭 ตอนนี้ต้องทำอะไร

🪐 ดาวเคราะห์และจุดปล่อย

ความสูงจากพื้นผิว h400 km

ความเร็วตอนปล่อย (แนวระดับ ขนานพื้นผิว)

v ปล่อย7.000 km/s

⏩ เร่งเวลา

1 วินาทีจริง = ตัวคูณ × วินาทีในภารกิจ · ดาวเทียมค้างฟ้าใช้ ×50,000

📝 บันทึกผล

📋 ตาราง

📈 กราฟ T² กับ r³ (วงโคจรวงกลม)

วัตถุประสงค์

หาความเร็วที่ทำให้ดาวเทียมโคจรเป็นวงกลมที่ความสูงต่าง ๆ และตรวจสอบ v = √(GM/r)
หาความสัมพันธ์ระหว่างคาบกับรัศมีวงโคจร (กฎข้อที่ 3 ของเคปเลอร์) และคำนวณมวลของโลกและดาวเคราะห์ปริศนา
หาความสูงของดาวเทียมค้างฟ้า (คาบ 1 วัน) และสังเกตวงโคจรเมื่อความเร็วไม่พอดี

อุปกรณ์ (เสมือนจริง)

ระบบปล่อยดาวเทียมที่ตั้งความสูงและความเร็วแนวระดับได้ละเอียด 0.001 km/s
เรดาร์ภาคพื้น: ความสูงและอัตราเร็วขณะนั้น + ความสูงต่ำสุด/สูงสุดของรอบล่าสุด · นาฬิกาภารกิจจับเวลาครบรอบ (ผ่านเส้นเมริเดียนจุดปล่อย)
ข้อมูลที่รู้: โลกรัศมี 6,371 km · ดาวเคราะห์ปริศนารู้รัศมีแต่ไม่รู้มวล · G = 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²

ขั้นตอน

ตอน A — ความเร็ววงโคจรวงกลม

ตั้ง h = 400 km ลองปล่อยด้วย v = 7.0 km/s · ถ้าความสูงต่ำสุดลดลง = ช้าไป · ถ้าความสูงสูงสุดเพิ่ม = เร็วไป
ปรับ v (±0.01, ±0.001) จนความสูงต่ำสุดกับสูงสุดต่างกันไม่เกิน 1% ของรัศมี · รอครบ 1 รอบแล้วบันทึก
ทำที่ h = 1,000, 5,000, 10,000, 20,000 km

ตอน B — กฎของเคปเลอร์และมวลโลก

ดูกราฟ T² กับ r³ ความชัน = 4π²/GM → M = 4π²/(G × ความชัน)
ใช้กราฟหา r ที่ T = 86,164 s (1 วันดาราคติ) → ความสูงดาวเทียมค้างฟ้า ทดลองปล่อยจริงด้วยเร่งเวลา ×50,000

ตอน C — ดาวเคราะห์ปริศนา

เลือกดาวเคราะห์ปริศนา หาวงโคจรวงกลม 3 ความสูง แล้วคำนวณมวลและ g ที่พื้นผิว
ลองปล่อยด้วยความเร็ว √2 เท่าของความเร็ววงกลม สังเกตผล (ความเร็วหลุดพ้น)

วิธีคำนวณ (ตารางคำนวณให้อัตโนมัติ)

r = R + h (ใช้ค่าเฉลี่ยของความสูงต่ำสุด/สูงสุด)
แรงโน้มถ่วงเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง: GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r) → GM = v²r
T = 2πr/v → T² = (4π²/GM) r³ → GM = 4π²r³/T² · M = GM/G
g ที่พื้นผิว = GM/R² · ความเร็วหลุดพ้น = √(2GM/r)

คำถามท้ายการทดลอง

ดาวเทียมที่อยู่สูงกว่าเคลื่อนที่เร็วกว่าหรือช้ากว่า คาบยาวกว่าหรือสั้นกว่า
ความเร็ววงโคจรขึ้นกับมวลของดาวเทียมหรือไม่ ทำไม
นักบินอวกาศในสถานีอวกาศลอยได้เพราะไม่มีแรงโน้มถ่วงหรือไม่ อธิบาย
ถ้าปล่อยช้ากว่าความเร็ววงกลมเล็กน้อย จุดปล่อยจะเป็นจุดที่สูงที่สุดหรือต่ำที่สุดของวงโคจร

1. แรงโน้มถ่วงเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

ดาวเทียมมีแรงเดียวกระทำ คือแรงโน้มถ่วงจากดาวเคราะห์ ชี้เข้าหาศูนย์กลาง (ดาวเทียมกำลัง "ตกอย่างอิสระ" ตลอดเวลา)
วงโคจรวงกลม: GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r) · T = 2π√(r³/GM)

2. ปืนใหญ่ของนิวตัน: ความเร็วกับรูปร่างวงโคจร

v < v_วงกลม → วงรีที่มีจุดปล่อยเป็นจุดไกลสุด (อาจชนพื้นผิว)
v = v_วงกลม → วงกลม · v_วงกลม < v < √2 v_วงกลม → วงรีที่มีจุดปล่อยเป็นจุดใกล้สุด · v ≥ √2 v_วงกลม → หลุดพ้น

💡 แบบจำลองใน simulation: ปัญหาสองวัตถุ (ดาวเคราะห์ไม่เคลื่อนที่) อินทิเกรตด้วย RK4 ขั้นเวลาปรับตามระยะ · ไม่มีแรงต้านบรรยากาศ · โลก GM = 3.986 × 10⁵ km³/s² · ดาวเคราะห์ปริศนาสุ่มรัศมี 3,000–9,000 km และ g ที่พื้นผิว 3–25 m/s² ต่อการเปิดหน้า · นาฬิกาภารกิจนับครบรอบเมื่อดาวเทียมกลับมาที่มุมเดียวกับจุดปล่อย (ไม่คิดการหมุนรอบตัวเองของดาวเคราะห์)