🔢 สมการหลัก (ไม่มีแรงต้านอากาศ)
ความเร็ว ณ เวลา t
v(t) = v₀ − g·t
กำหนดแกนบวก = ขึ้น, g = 10 m/s² (เสมอชี้ลง)
ความสูง ณ เวลา t (วัดจากจุดเริ่ม = ยอดตึก)
y(t) = v₀·t − ½·g·t²
ความเร็ว ณ ความสูง y (ใช้พลังงาน)
v² = v₀² + 2·(−g)·Δy
เมื่อตกลงมายังจุดเดิม (Δy = 0) → v = −v₀ (ขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม)
🔍 การวิเคราะห์
ก้อนหิน A (ขว้างขึ้น)
เมื่อ A ถึงจุดเดิม (ยอดตึก) บนทางลง:
v = −10 m/s (ขนาด 10 m/s ลง)
จากนั้นมีสภาพเหมือน B ทุกประการ
ดังนั้น A ใช้เวลาในการตกนานกว่า B
t_A > t_B
ระยะทางรวมที่ A เดินทาง ≥ H (มีส่วนที่ขึ้น)
ก้อนหิน B (ปาลง)
B เริ่มต้นที่ยอดตึก ความเร็วต้น −10 m/s (ลง)
ตกลงตรงๆ ด้วยความเร่ง g
v_B(t) = −10 − g·t
ถึงพื้นเร็วกว่า A อย่างชัดเจน
ความเร็วขณะกระทบพื้น (velocity, vector)
v_f² = v₀² + 2g·H → v_f = −√(v₀² + 2gH)
A: v₀ = +10 m/s → v_f = −√(100 + 2gH)
B: v₀ = −10 m/s → v_f = −√(100 + 2gH)
∴ v_f ของ A และ B เท่ากัน ทั้งขนาดและทิศทาง ✓
ความเร็วเฉลี่ย (velocity, vector) = การกระจัด / เวลา
v̄ = Δx / t = (−H) / t
การกระจัด A = การกระจัด B = −H (ยอดตึก → พื้น ทิศลง)
แต่ t_A > t_B เพราะ A ขึ้นก่อนแล้วค่อยลง
∴ |v̄_A| = H/t_A < |v̄_B| = H/t_B
v̄_A ≠ v̄_B (ไม่เท่ากัน) ✗
อัตราเร็วเฉลี่ย (speed, scalar) = ระยะทาง / เวลา
s̄ = d / t
A: ระยะทาง = s_up + (H + s_up) = 2s_up + H (มากกว่า H)
B: ระยะทาง = H
ต้องคำนวณตัวเลขจึงจะบอกได้ว่าเท่ากันหรือไม่ (ไม่ใช่ประเด็นในโจทย์)
📐 พิสูจน์ v_f ของ A และ B เท่ากัน
ใช้สมการ v² = v₀² − 2g·Δy (Δy = −H, a = −g)
ก้อนหิน A: v₀ = +10 m/s
v_A² = (+10)² + 2(−g)(−H) = 100 + 2gH
v_A = −√(100 + 2gH) (ทิศลง)
ก้อนหิน B: v₀ = −10 m/s
v_B² = (−10)² + 2(−g)(−H) = 100 + 2gH
v_B = −√(100 + 2gH) (ทิศลง)
∴ v_A = v_B ทั้งขนาดและทิศ → ข้อ 2 ถูก ✓
หมายเหตุ: ความเร็วเฉลี่ย (Δx/t) ไม่เท่ากัน เพราะ t_A ≠ t_B → ข้อ 3 ผิด ✗